فصل چهارم70
مدل جینز-کامینگز بدون تقریب موج چرخان و اندازه گیری درهم تنیدگی70
4-1 مقدمه71
4-2 مدل جینز-کامینگز بدون تقریب موج چرخان72
4-3 تحول زمانی سیستم (اتم-فوتون) بدون تقریب موج چرخان77
4-4 در هم تنیدگی اتم – فوتون80
4-5 درهم تنیدگی زوج کوبیت88
4-11 پیشنهادات برای آینده98
فهرست شکلها
شکل (1-1) سیستم متشکل از دو بخش A و B12
شکل (3-1) عدم قطعیت حالات همدوس در فضای فاز40
شکل (3-2) عدم قطعیت حالت فشرده در فضای فاز44
شکل (3-3) بررسی احتمال تحریک کامل اتم ها از حالت پایه برای مقادیر متفاوت Δ 53
شکل(3-4) نمایش ترازهای انرژی56
شکل (3-5) تغییرات تابع وارونی جمعیت بر حسب زمان60
شکل (3-6) طرحواره ای از سیستم زوج کوبیت65
شکل (4-1) مقایسه انرژی های GSحاصل از FOD (دایره های توپر)، GRWA (منحنی خط) و ED (دایره های توخالی) بر حسب g74
شکل (4-2) نمودار انرژیGS نسبت به g برای =ωA/ωF76
الف5/0 ب) 1 پ)5/176
شکل (4-3) آنتروپی فون-نیومان برحسب زمان برای مدل جینز-کامینگز بدون RWA با g = الف)01/0 ب) 1/0 پ)183
شکل (4-4) آنتروپی فون-نیومان برحسب زمان برای مدل جینز-کامینگز با RWA با g
= الف)01/0 ب) 1/0 پ)184
شکل (4-5) وارونی جمعیت ترازهای اتمی برحسب زمان برای مدل جینز-کامینگز بدون RWA با85
g = الف)01/0 ب) 1/0 پ)185
شکل (4-6) وارونی جمعیت ترازهای اتمی برحسب زمان برای مدل جینز-کامینگز باRWA با86
g = الف)01/0 ب) 1/0 پ)186
شکل (4-7) مقایسه آنتروپی فون نیومن برای مدل با R W A —- و بدون R W A___ بر حسب زمان با g= 01/087
شکل (4-8) مقایسه وارونی جمعیت ترازهای اتمی برای مدل با R W A — و بدون R W A___ بر حسب زمان با g= 01/0 87
شکل(4-9) معیار تلاقی بر حسب gt برای هر یک از توابع موج اولیه نشان داده شده(θ=π/2)93
شکل(4-10) معیار تلاقی بر حسب gt برای هر یک از توابع موج اولیه نشان داده شده الف و ب) θ=π/3. پ و ت) θ=π/694
شکل(4-12) معیار فیشر بر حسب gt برای هر یک از توابع موج اولیه نشان داده شد(θ=π/2)96
فهرست علائم و اختصارات (Abreviations)
Einstein, Podolsky, Rosen paradoxEPRFisher InformationFIRotating Wave ApproximationRWAEntanglement Sudden DeathESDFirst-Order ApproximationFODGeneralized Rotating Wave ApproximationGRWAExact DiagonalizationEDJaynes-Cummings ModelJCMGround StateGS
فصل اول
مقدمه ای بر درهم تنیدگی
1-1 مقدمه
وقتی از درهم تنیدگی کوانتومی سخن می گوییم، شاید شگفتی های دنیای فیزیک برایمان نمایان می شود. بعنوان مثال منظور از درهم تنیدگی کوانتومی”دو ذره فوتونی ” است که هرگز در یک زمان وجود نداشته اند” اما امکان برقراری ارتباط با یکدیگر را دارند. یعنی “ارتباط دو ذره فوتون از ورای زمان” یعنی مدتی پس از نابودی اولی، دومی به وجود آمده و هرگز همزمان در دنیا نبوده اند. اما داستان چیست؟
در هم تنیدگی کوانتومی یک پدیده قدیمی و رازآلود با این معنا است که برخی ذرات، مثل ذرات فوتون ها و الکترون ها، می توانند “یک بار” بر یکدیگر اثر متقابل بگذارند ولی همچنان حتی پس از جدایی، کیفیت هایی نظیر چرخش یا قطبی شدگی شان مشترک باشد و “با تغییر حالت یکی، دیگری نیز تغییر کند.”در مکانیک کوانتومی، درهم‌تنیدگی یکی از رفتارهای عجیب ذرات است که در آن قوانین فیزیک کلاسیک شکسته می‌شوند و رویدادهای ناممکن به وقوع می‌پیوندند. درهم‌تنیدگی که اینشتین از آن با عنوان “عمل شبح‌وار در یک فاصله” یاد می‌کند، پدیده‌یی است که در آن دو ذره به عنوان یک سیستم عمل می‌کنند حتی هنگامی که توسط فواصل عظیم از هم جدا شده باشند.
اما داستان درهم تنیدگی در سال ۱۹۳۵ میلادی شروع شد، زمانی که نکته فوق العاده عجیبی در مورد نظریه کوانتومی توجه آلبرت اینشتین را جلب کرد، نکته ای که چند سالی از فرمول بندی نوین نظریه کوانتومی می گذشت همچنان از نگاه تیزبین فیزیکدان ها پوشیده مانده بود. اینشتین دریافت که براساس نظریه کوانتومی باید مابین ذراتی که حداقل یکبار با یکدیگر برهم کنش
داشته اند، نوعی ارتباط اسرارآمیز درونی برقرار شود، به گونه ای که اگر ویژگی های کوانتومی یکی از این ذرات را تغییر دهیم، مابقی آنها صرف نظر از اینکه در چه فاصله ای از ذره اول قرار گرفته اند و مثلا یک متر با ذره مزبور فاصله دارند یا یک میلیارد سال نوری- بلافاصله و بطور آنی از این تغییر ، تاثیر می پذیرد!
این پیش بینی نظریه کوانتومی به حدی عجیب و غریب بود که حتی خود اینشتین هم که از بنیان گذاران فیزیک کوانتومی بود به هیچ وجه نتوانست بپذیرد و آن را ناشی از ناکامل بودن نظریه کوانتومی می دانست چرا که او معتقد بود اساسا هیچ کنش و ارتباطی مابین ذرات جهان نمی توانست با سرعتی بیش از سرعت نور برقرار شود. به همین دلیل هم اینشتین در همان سال مقاله مشترکی با دو فیزیکدان دیگر به نام های بوریس پودولسکی و ناتان روزن منتشر کرد و در آن مقاله ضمن اعلام نظر خود مبنی بر وجود مشکل در نظریه کوانتومی، نظریه دیگری بنام « نظریه متغیرهای نهانی موضعی» بعنوان جایگزین نظریه کوانتومی ارائه داد. این نظریه به گونه ای تدیون شده بود که تمامی پیش بینی های نظریه کوانتومی را عینا البته بدون در نظر گرفتن رابطه آنی و لحظه ای بین ذرات ، نتیجه می داد.
اما براستی کدامیک از این دو نظریه قابل پذیرش بودند؟ نظریه مطرح شده در مقاله مشترک اینشتین- پودولسکی – روزن که بطور مخفف مقاله EPR نامیده می شود یا نظریه کوانتومی- که اروین شرودینگر ، فیزیکدان برجسته اتریشی اصطلاحا آن را « در هم تنیدگی کوانتومی» نامیده بود- دلالت داشت؟ در این مطالعه، پارادوکس EPR فرموله شد، آزمایشی فکری که در تلاش بود ناکامل بودن تئوری مکانیک کوانتومی را نشان دهد. در این مقاله آمده بود:”بنابراین ما مجبوریم چنین نتیجه گیری کنیم که توصیف مکانیک کوانتومی از واقعیت فیزیکی توابع موج، غیرکامل می باشد.”
با این حال نه تنها واژه درهم تنیدگی توسط این سه دانشمند ساخته و پیشنهاد نشده بود بلکه ایشان خواص ویژه این وضعیت را نیز تعمیم نداده بودند. پس از انتشار مقاله EPR، اروین شرودینگر برای نخستین بار در نامه‌ای که برای اینشتین می نویسد از واژه درهم‌تنیدگی برای توصیف بستگی دو ذره که موقتا با یکدیگر در اندرکنش بوده و سپس جدا شده اند استفاده کرد. شرودینگر اهمیت EPR را در آن میدید که انحراف مکانیک کوانتومی از موازین ذهن کلاسیک نشان می داد. وی همچون اینشتین با مفهوم درهم تنیدگی مخالف بود چرا که آشکارا نظریه نسبیت را که در آن سرعت نور، بیشینه سرعت انتقال اطلاعات بود را به چالش می کشید. اینشتین بعدها درهم تنیدگی را تاثیر از فاصله شبح وار نامید و به این ترتیب آن را به سخره گرفت.
کلید پاسخ این سوال مهم را یک فیزیکدان ایرلندی به نام جان بل در سال ۱۹۶۴ میلادی پیدا کرد. جان بل توانست رابطه ای ریاضی را که بعدها به نام « نامساوی بل » شهرت یافت، پیدا کند. که می توانست مابین پیش بینی های این دو نظریه رقیب یعنی نظریه کوانتومی و نظریه متغیرهای نهانی موضعی را در آزمایشات خاصی نشان دهد. براین اساس اگر فیزیکدان ها موفق می شدند در آزمایشات خود، نقض نامساوی بل را مشاهده کنند، این به معنای صحت نظریه کوانتومی و وجود پدید اسرار آمیز در هم تنیدگی کوانتومی بود و در غیر این صورت، حق با اینشتین بود و هیچ ارتباطی با سرعتی فراتر از سرعت نور مابین ذرات وجود نداشت.
این مناقشه طولانی سرانجام در سال ۱۹۷۲ با پیروزی نظریه کوانتومی به پایان رسید. در این سال، دو فیزیکدان به نامهای استوارت فریدمن و جان کلاورز در دانشگاه برکلی آمریکا موفق شدند با اندازه گیری قطبش فوتون هایی که قبلا با یکدیگر برهم کنش داشته اند، نقض نامساوی بل و در نتیجه وجود پدیده اسرارآمیز در هم تنیدگی کوانتومی برای اولین بار به طور تجربی مشاهده کنند. ده سال بعد از آزمایش فریدمن – کلاورز، در سال ۱۹۸۲ یک فیزیکدان فرانسوی بنام آلن اسپکت با افزایش دقت این آزمایش، وجود پدیده در هم تنیدگی کوانتومی را باز هم با قطعیت بالاتری تایید کرد. در سال ۲۰۰۸ نیز فیزکدانان دانشگاه ژنو در سوئیس به رهبری نیکولاس گیسین با انجام آزمایشی توانستند صراحتا نشان دهند که ارتباط مابین ذرات در هم تنیده حداقل با سرعتی ده هزار برابر سریعتر از سرعت نور صورت می گیرد!
اما شگفتی های پدیده در هم تنیدگی کوانتومی به همین جا ختم نمی شود چرا که برخی فیزیکدان ها معتقدند که این ارتباط آنی و درونی اسرارآمیز نه تنها در فواصل مکانی بلکه در بعد مکان بلکه حتی مابین لحظات مختلف در بعد زمان هم مابین گذشته و آینده عمل می کند و این به معنای ارتباط آنی دو لحظه مختلف زمانی با همدیگر است! علاوه بر این، امروزه فیزکدان ها حتی کاربردهای حیرت انگیز متعددی را نیز برای این پدیده اسرارآمیز پیدا کرده اند، کاربردهای نظیر مخابرات کوانتومی، کامپیوترهای فوق سریع کوانتومی ، رمز نگاری غیر قابل نفوذ کوانتومی و غیره… کابردهایی که براساس پدیده حیرت انگیز در هم تنیدگی کوانتومی، فناوری بشر را در قرن بیست و یکم دگرگون خواهد کرد.
در هم تنیدگی پدیده ای است که منحصرا در دنیای کوانتوم وجود داشته و به نظر می رسد در فضای ماکروسکوپی اتفاق نمی افتد قبل از پرداختن به مفهوم انواع و کاربردهای در هم تنیدگی ابتدا نظریه اطلاعات کوانتومی را مورد بررسی قرار می دهیم که رابطه ای نزدیک با درهم تنیدگی دارد. مفهوم اطلاعات در هاله ای از ابهام است و تعریف واحدی از آن ارائه نشده است، برای روشن سازی این مطالب چند ویژگی اطلاعات را بیان می کنیم.1
1-اطلاعات دانش ذخیره شده است، بستر این ذخیره سازی ممکن است کتاب، مجله و سایر ظرفیت های سنتی یا یک رسانه الکترونیکی باشد.
2- اطلاعات از پدیده های اطراف بدست می آید که پس از دریافت و تفسیر معنی پیدا می کند و آن پدیده ها الزاما برای انتقال پیام به وجود نیامده بودند.
3- مفهوم اطلاعات تابع عوامل متعددی نظیر زمان، مکان و شخص دریافت کننده می باشد. یک مفهوم در یک زمان خاص اطلاعاتی که به ما می دهد ممکن است با زمان دیگر فرق داشته باشد، همچنین تغییر در مکان نیز ارزش اطلاعات را کم و بیش می کند. یک ضرب ساده ریاضی اطلاعاتی را که به یک دانش آموز منتقل می کند بیشتر از اطلاعاتی است که به یک دانشجوی ریاضی می دهد.
4- اطلاعات را فرستنده در محمل پیام برای گیرنده می فرستد و گیرنده باید آن را طوری که نیت فرستنده می بوده است، تفسیر کند تا ارزش واقعی اطلاعات مشخص شود.
5- گسترش اطلاعات و اشاعه آن بین افراد مختلف از میزان آن نمی کاهد بلکه آن را افزون
می کند، لذا اطلاعات، عنصری فعال و رو به رشد است.
توضیحات بالا اطلاعات را به صورت عام مورد بررسی قرار داد، اما آن چیزی که در فیزیک به نام نظریه ی اطلاعات مطرح می شود عبارت است از نظریه ی اطلاعات که شامل دو نوع اطلاعات کلاسیک و کوانتومی می شود.
1-2 اطلاعات کلاسیک
فرض کنید که x={x_1,x_2,…,x_n } یک متغیر تصادفی با احتمالات
p={p_1,p_2,…,p_n } باشد. تابعی که به شکل زیر تعریف می شود را در نظر می گیریم
H(x)=∑_(i=1)^n▒〖p_i Log_2 1/p_i 〗
(1-1)
اساس نظریه اطلاعات کلاسیک بر روی این تابع که تابع آنتروپی می نامند استوار است، اما چرا تابعی به این شکل را معیار مناسبی برای اطلاعات در نظر می گیریم؟
فرض کنید که آزمایش یا واقعه ای مثلxکه نتایج یا پیشامد های ممکن آن را با مجموعه {x_1,x_2,…,x_n } نشان می دهیم، اتفاق بیفتد و کسی نتیجه این واقعه را به ما بگوید، مثلا بگوید پیشامدx_i رخ داده است در این صورت می توان پرسید که آن شخص چه مقدار به ما اطلاع داده است و چه مقدار از بی اطلاعی ما کاسته است. از نظر شهودی، هر چقدر پیشامدی که به وقوع پیوسته است محتمل تر بوده باشد، اطلاعی که ما کسب کرده ایم کمتر خواهد بود؛ بنابراین اگر میزان اطلاع خود از وقوع پیشامد x_i را با h_i نشان دهیم می توانیم بگوییم که h_i می بایست نسبت معکوس با احتمال وقوع آن پیشامد یعنی p_i داشته باشد.
حال فرض کنید که یک آزمایش مرکب از دو واقعه مستقل (x,y) باشد، که نتایح ممکن آن را با زوج های{{x_i,y_j }, i=1,…,n, j=1,…m } نشان می دهیم. هر گاه احتمال وقوع x_i را با p_i و احتمال وقوع y_j را با q_j نشان دهیم، احتمال هر پیشامد 〖(x〗_i,y_j) برابر خواهد بود با p_i q_j و میزان اطلاعی که از وقوع این پیشامد کسب می کنیم برابر خواهد بود با h(p_i q_j). انتظار داریم که میزان اطلاع ما در این مورد که دو پیشامد مستقل رخ داده اند برابر با مجموع اطلاعاتی باشد که از وقوع پیشامد x_i به تنهایی و y_j به تنهایی کسب می کنیم بنابراین انتظار داریم که
h(p_i q_j )=h(p_i )+h(q_j)(1-2)
تنها تابعی که شرط فوق را برآورده کند و ضمنا نزولی باشد تابع لگاریتم است، بنابراین خواهیم داشت
h(p_i )=Log_α 1/p_i (1-3)

که در آن α ثابت است. ثابت α را می توان با شرط بهنجارش تعیین کرد. با این فرض که میزان اطلاع کسب شده ما از وقوع یک پدیده دو حالته متساوی الاحتمال برابر با یک باشد یعنی h(1/2)=1 ، در نتیجه ثابت α برابر با 2 می شود.اگر یک آزمایش x را N بار انجام دهیم به طور متوسط Np_i بار نتیجه x_i رخ خواهد داد و میزان اطلاعی که در هر بار کسب می کنیم برابر خواهد بود با Log_2 1/p_i . میزان اطلاعی که ما به طور متوسط از وقوع نتایج آزمایش تصادفی x کسب می کنیم برابر خواهد بود با
H(x)=1/N ∑_(i=1)^n▒〖Np_i Log_2 1/p_i 〗=∑_(i=1)^n▒〖p_i Log_2 1/p_i 〗
(1-4)
این تابع، تابع آنتروپی یا تابع شانون2 نیز خوانده می شود، این تابع در فاصله p∈[o,1] یک تابع مثبت است، بنابراین h(x) یک تابع مثبت است.
اگر چه مشابهت های جدی بین نظریه اطلاعات کلاسیک و کوانتومی وجود دارد، ولی بدیهی است که تفاوت های مهم و اساسی بین ایندونظریه وجود دارد. در نظریه اطلاعات کوانتومی، به سوالاتی نظیر این که چگونه می توان اطلاعات را اندازه گرفت؟ اطلاعات موجود در یک حالت کوانتومی چقدر است؟ تا چه حد می توان این اطلاعات را فشرده سازی کرد؟ پاسخ داده می شود.3
1-3 اطلاعات کوانتومی
منبع کلاسیک منبعی است که از یک آنسامبل شامل نمادهای کلاسیک مثل {x_1,x_2,…,x_n } رشته هایx_i1,x_i2,…,x_im تولید و ارسال می کند. نمادهای x_i را از آن جهت کلاسیک
می خوانیم که می توان آنها را کاملا شناسایی کرده واز هم تمیز داد.
منبع کوانتومی منبعی است که از یک آنسامبل، شامل حالت های کوانتومی مثل
x^q={ρ_1,ρ_2,…,ρ_n } رشته هایی مانند ρ=ρ_i1⨂ρ_i2… تولید و ارسال می کند. در آنسامبل کلاسیک x می توانیم بدرستی از x_i ها به عنوان پیش آمدهایی با احتمال وقوع p_i سخن بگوییم و به هر خبری که می گفت پیشامد x_i رخ داده است بسته به این که چقدر تعجب ما را بر می انگیزد میزانی از اطلاع نسبت می دهیم. اما آیا می توانیم در آنسامبل x^q به هر کدام از ρ_iها یک پیشامد بگوییم؟ معنای این که ρ_i اتفاق افتاده است چیست؟ مسلما چنین جمله ای معنا ندارد. تنها چیزهایی که می توان به آنها پیشامد گفت نتیجه هایی است که از انجام آزمایش بر حالت های x^q حاصل می شود. این پیش آمد ها به نوبه خود بسته به نوع آزمایشی است که ما انجام می دهیم. بنابراین در این جا نه تنها خود حالت ها مهم هستند، بلکه آزمایش انجام شده توسط ما نیز مهم است. به عنوان مثال هر گاه حالت |z,+> را در راستای z اندازه گیری کنیم دو پیشامد z_+ و z_- با احتمالات 1و o رخ می دهند و هر گاه همان حالت را در راستای x اندازه گیری کنیم دو پیشامد x_+ و x_- با احتمالات برابر رخ می دهند.
تفاوت مهم دیگری که منبع کوانتومی با منبع کلاسیک دارد، آن است که در منبع کوانتومی حالات درون آنسامبل x^q لزوما تمیز پذیر نیستند و ما حتی با انجام آزمایش نیز با قطعیت نمی توانیم بگوییم که حالت ρ_i از منبع ارسال شده است یا ρ_j . معیاری که در نظریه اطلاعات کوانتومی به عنوان اطلاعات در نظر گرفته می شود آنتروپی فون – نویمان4 است که به شکل زیر است.
s(x^q )=-ln⁡(ρ〖 Log〗_2 ρ)(1-5)
که ρ ماتریس چگالی سیستم است. در مخابره اطلاعات کلاسیک، همانطور که می دانیم از بیت که یک سیستم دو حالتی است استفاده می شود. هر بیت می تواند مقدار صفر یا یک بخود بگیرد، به عنوان مثال برای کد گذاری حروف الفبای فارسی نیازمند «2^5=32». 5 بیت می باشیم. برای نگهداری یک بیت از یک سیستم فیزیکی استفاده می شود. سیستم های الکترونیکی نظیر یک مدار که در آن یا جریان وجود دارد یا ندارد گزینه مناسبی است. اما در اطلاعات کوانتومی از کوبیت
«بیت کوانتومی» استفاده می شود. به عنوان مثال اسپین اتم هیدروژن می تواند نشان دهنده یک کوبیت باشد. در اندازه گیریاسپین یک الکترون احتمال بدست امدن دو نتیجه وجود دارد، یا اسپین رو به بالاست که آن را معادل |o> و یا رو به پایین است که آنرا معادل |1> می گیریم. علاوه بر اسپین، از قطبش یک فوتون نیز می توان به عنوان کوبیت استفاده کرد؛ مثلا قطبش های چپگرد و راست گرد می تواند وضعیت های 0و1 باشند.
شاید بتوان مهمترین تفاوت بیت و کوبیت را در این دانست که بیت کلاسیک فقط می تواند در یکی از دو حالت ممکن خود قرار گیرد، در حالی که بیت کوانتومی می تواند به طور بالقوه در بیش از دو حالت وجود داشته باشد. به عبارت دیگر کوبیت می تواند o یا 1 و یا یک بر هم نهی از هر دو باشد. تفاوت دیگر در اینجاست که هر گاه بخواهیم می توانیم مقدار یک بیت را تعیین کنیم اما این کار را در مورد یک کوبیت نمی توان انجام داد . به زبان کوانتومی یک کوبیت را به صورت |ψ> =c_1 |o>+c_2 |1> نشان می دهیم. حاصل اندازه گیری روی یک کوبیت، حالت |o> را با احتمال 〖〖|c〗_1 |〗^2 و |1> را با احتمال 〖〖|c〗_2 |〗^2 نتیجه می دهد. البته اندازهگیری روی یک کوبیت حتما یکی از دو نتیجه را بدست می دهد.
از سوی دیگر اندازه گیری روی سیستم های کوانتومی، حالت اصلی آنها را تغییر می دهد. کوبیت در حالت کلی در یک حالت برهم نهاده از دو پایه ی ممکن قرار دارد، اما در اثر اندازه گیری حتما به یکی از پایه ها برگشت می کند. به این ترتیب هر کوبیت پیش از اندازه گیری شدن
می توانداطلاعات زیادی را در خود داشته باشد.

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

1-4 درهم تنیدگی
در هم تنیدگی کوانتومی یک چشمه فیزیکی، نظیر انرژی می باشد که همبستگی غیر کلاسیکی بین دو سیستم کوانتومی مجزا را فراهم کرده است. در هم تنیدگی می تواند اندازه گیری شود، تغییر داده شود و یا خالص سازی شود. یک جفت سیستم کوانتومی در یک حالت درهم تنیده
می تواند به عنوان کانال اطلاعاتی کوانتومی برای اجرای وظایف محاسبه و رمز نگاری مورد استفاده قرار گیرند که در سیستم های کلاسیک غیر ممکن است . درهم تنیدگی کوانتومی یکی از اجزای اصلی فلسفه نظریه کوانتوم است و در زمینه اطلاعات کوانتومی بسیار کاربرددارد، با همه این تفاسیر ویژگی های در هم تنیدگی سیستم دور از فهم به نظر می رسد. سوال اساسی در این زمینه این است که آیا دو سیستم مفروض A و B در هم تنیده اند یا جدا پذیر؟ جداپذیری یکی از چالش های اساسی در نظریه اطلاعات کوانتومی می باشد. در چند سال اخیر قسمت اعظم فعالیت ها در حوزه اطلاعات کوانتومی مربوط به جداپذیری بوده است.
در هم تنیدگی می تواند برای تولید پدیده های غیر موضعی استفاده شود. حالاتی که بیشترین درجه درهم تنیدگی را دارند EPR می نامند. چرا که برای اولین بار انیشتین پودولسکی و روزن به آثار غیر موضعی بودن ناشی از درهم تنیدگی اشاره کردند. برای انتقال یک حالت کوانتومی به مسافت طولانی باید همدوسی آن را حفظ کنیم، اما به خاطر ایجاد همبستگی های این حالت با محیط، حفظ همدوسی بسیار مشکل است. اگر فرستنده و گیرنده، یک حالت در هم تنیده به اشتراک گذارند، فرستنده می تواند حالت کوانتومی خود را بدون جابجایی فیزیکی به گیرنده انتقال دهد؛ این پروتکل ارسال کوانتومی5 نامیده می شود6.
تشخیص این که دو حالت چقدر با هم درهم تنیده هستند برای استفاده از مزایای درهم تنیدگی برای ما مهم است. برای آشنایی بیشتر با در هم تنیدگی مختصری راجع به ماتریس چگالی که نقش اساسی در تشخیص درهم تنیدگی دارد می گوییم، سپس نگاهی ریاضی وار به حالت های درهم تنیده می اندازیم.
1-5 ماتریس چگالی7
بنابر اصول موضوع کوانتومی، حالت یک سیستم بسته با یک بردار در یک فضای هیلبرت تعیین می شود. این بردار توسط یک عملگر یکانی در طول زمان تحول می یابد و اندازه گیری هر مشاهده پذیر این بردار را به ویژه بردارهای عملگر متناظر با آن مشاهده پذیر تصویر می کند. در عمل یک سیستم کوانتومی به ندرت می تواند از محیط اطراف خود مستقل باشد؛ در بسیاری اوقات نیز ما نه به کلیت یک سیستم کوانتومی بلکه به اجزای آن علاقه مندیم. به عنوان مثال در یک تله یونی یا تله اتمی که چندین اتم را در یک حالت کوانتومی نگاه داشته است، علاقه مندیم که حالت یکی از یون ها را تعیین کنیم و روی آن اندازه گیری کرده و تحول زمانی آن را بدست آوریم. فرض کنید که دو ذره با اسپین ½داریمو این دو ذره در حالتی مثل حالت زیر قرار دارند:
〖|ψ>〗_AB=a|+,+> +b|+-> +c|-,+> +d|-,->(1-6)
می پرسیم که حالت ذره A چیست؟ در این جا درست است که هر دو ذره در یک حالت مشخص قرار دارند، اما نمی توان به ذره A بردار حالت مشخصی نسبت داد. در این مورد و در تمامی موارد مشابه که دستگاه کوانتومی مورد نظر ما جزئی از یک دستگاه بزرگتر است حالت آن با یک ماتریس چگالی مشخص می شود.
شکل (1-1) سیستم متشکل از دو بخش A و B
فرض کنید که یک سیستم از دو بخش A و B تشکیل شده است، شکل (1-1). بنابر اصول مکانیک کوانتومی به این سیستم فضای هیلبرت H=H_A⨂H_B نسبت داده می شود. فرض کنید که {|i>}_(i=1)^m یک پایه برای H_Aو{|μ>}_(μ=1)^n یک پایه برای H_B باشد در این صورت یک حالت کلی از سیستم AB توسط بردار حالت زیر داده می شود:
|ψ> =∑_(i,μ)▒〖ψ_iμ |i,μ>〗
(1-7)
حال اثر هر عملگر M_Aروی زیر سیستم A چیزی نیست جز عملگری به شکل M⨂I و در نتیجه خواهیم داشت
〖<m>〗_A=<ψ|M⨂I|ψ> =Tr_AB [(M⨂I|ψ><ψ| ) ]
Tr_A (Mρ_B )=Tr_A {Tr_B [(M⨂I|ψ><ψ| ) ] }
(1-8)
که در آن ρ_A=Tr_B (|ψ><ψ|)ماتریس چگالی A نامیده می شود. به این ترتیب هر عنصر ماتریسی روی زیر سیستم A را می توان به صورت Tr(Mρ) نوشت، که در آن ρ از رابطه بالا تعیین می شود و جانشین حالت کوانتومی زیر سیستم A است. به طریق مشابه ماتریس چگالی دستگاه B با رابطه ρ_B=Tr_A (|ψ><ψ|) داده می شود.
〖<m>〗_A=<ψ|M⨂I|ψ> =Tr_AB [(M⨂I|ψ><ψ| ) ]
Tr_B {Tr_A [(M⨂I|ψ><ψ| ) ] }=Tr_B (Mρ_A )(1-9)
می توان فرم صحیح تر ماتریس چگالی را نیز بدست آورد. با توجه به رابطه (1-6) خواهیم داشت:
ρ_A=∑_(i,j)▒〖ρ_ij |i><j| 〗 وρ_B=∑_(μ,ν)▒〖ρ_μν |μ><ν| 〗
که در آن
ρ_ij=∑_μ▒ψ_iμ ψ_iμ^* 〖و ρ〗_μν=∑_i▒ψ_iν ψ_iν^*
که با توجه به این عبارت ها به راحتی می توان خواص سه گانه ماتریس چگالی را تحقیق کرد یعنی این که ρماتریس هرمیتی مثبت با رد برابر با واحد است.8
1-6 ماتریس چگالی و درهم تنیدگی
حالتی مثل
|ψ> =1/√2(|0,1>-|1,0>) (1-10)
را در نظر بگیرید فرض کنید که کوبیت اول دست آلیس و دومی در دست باب است. حالت های |0> ,|1> را برای نشان دادن ویژه حالت های اسپین در راستای Z بکار برده ایم. اگر آلیس روی ذره خود یک اندازه گیری در راستای Z انجام دهد ومقدار 0 بدست آورد، می تواند به طور قطع نتیجه اندازه گیری باب را پیش گویی کند؛ زیرا باب در صورت اندازه گیری در همین پایه به طور قطع مقدار 1 را بدست خواهد آورد. بالعکس اگر آلیس مقدار 1 را بدست آورد می تواند به طور قطع بگوید که باب نتیجه صفر را در اندازه گیری خود بدست خواهد آورد، چنین حالتی را یک حالت درهم تنیده می گویند. از نظر ریاضی یک حالت خالص درهم تنیده، حالتی است که نتوان آن را به صورت ضرب تانسوری دو بردار نوشت. یک سیستم دو بخشی که از دو زیر سیستم A و B با فضاهای هیلبرت H_A و H_B تشکیل شده باشد را در نظر بگیرید. فضای هیلبرت کامل این سیستم عبارت خواهد بود از H_A⨂H_B . در این فضا به بردارهایی که نتوان آنها را به صورت ضرب تانسوری دو بردار دیگر نوشت بردارهای درهم تنیده گویند. حالت های درهم تنیده نتایج کاملا شگفت انگیزی در بردارند، زیرا چنانکه در مثال بالا گفتیم هر گاه روی یکی از ذرات یک حالت درهم تنیده آزمایشی انجام دهیم، وضعیت ذره دیگر از قوه به فعل در می آید و از حالت نامعینی که قبل از اندازه گیری داشت در آمده و به حالت معین و ثابتی می رسد که توسط آزمایش ما تعیین می شود. این تاثیر حتی در وضعیتی که اندازه گیری های آلیس و باب فاصله فضا گونه باهم دارند برقرار است. از آنجا که دو رویداد با فاصله فضا گونه هیچ گونه رابطه علی با یگدیگر ندارند، به نظر می رسد که یک نوع اثر ناموضعی9در مکانیک کوانتومی وجود دارد که هیچ نوع سابقه ای در فیزیک کلاسیک ندارد. همچنین به نظر می رسد که این پدیده ها به نوعی نسبیت خاص را نقض می کنند، اما می توان نشان داد که آلیس با اندازه گیری های خود، تنها می تواند نتایج آزمایش های باب را پیش گویی کند و به هیچ روی نمی تواند علامت یا سیگنالی را به او مخابره کند. برای فهم این موضوع کافی است که ماتریس چگالی را قبل و بعد از اندازه گیری آلیس بدست آورده و باهم مقایسه کنیم.
به طور کلی فرض کنید حالتی که در دست آلیس و باب است حالتی به شکل زیر است:
|ψ>=∑_(i,μ)▒ψ_iμ |i,μ>
(1-11)
بنابراین ذره ای که در دست باب قرار دارد در حالت زیر خواهد بود.
ρ_B=Tr_A (|ψ><ψ|)(1-12)
حال فرض کنید که آلیس یک اندازه گیری با عملگرهای {P_m } روی ذره خودش انجام می دهد در این صورت حالت دو ذره به حالت زیر تبدیل می شود:
ρ^’=〖(P〗_m⨂I)|ψ><ψ|(P_m^+⨂I) (1-13)
بعد از این اندازه گیری، حالت ذره ای که در دست باب است برابر خواهد بود با:
ρ_B^’=tr_B (ρ^’ )=tr_A [〖(P〗_m⨂I)|ψ><ψ|(P_m^+⨂I)](1-14)
اما Tr_A دارای خاصیت دوره ای است، که در آن عملگرهای X و Z روی فضای A عمل می کند و عملگر Y روی هر دو فضای A و B
Tr_A [(X⨂I)Y(Z⨂I) ]=Tr_A [(Z⨂I)(X⨂I)Y]
با استفاده از این خاصیت خواهیم داشت:
ρ_B^’=Tr [〖(ρ〗_m⨂I)(ρ_m^+⨂I)|ψ><ψ|]=Tr_A (|ψ><ψ|)(1-15)
که با توجه به یکانی بودن عملگرها بدست آمد.
بنابراین، حالت هر ذره ای که در دست باب است با اندازه گیری های آلیس تغییر نمی کند و در نتیجه اندازه گیری های آلیس به هیچ روی باعث تغییری در حالت ذره باب نخواهد شد. در نتیجه هیچ علامت یا اطلاعی به باب مخابره نمی شود. این امر ادعای مارا ثابت می کند که ناموضعیت به معنای نقض نسبیت خاص نیست، با این وجود حالت های درهم تنیده خصلت های غریبی دارند که آنها را شایسته مطالعه جدی و وسیع می کند. حال می خواهیم به یک جنبه خاص از این موضوع که در 1935 توسط انیشتن، پودلسکی و روزن طرح شده است توجه کنیم. این سه شخص ملاک های دقیقی را مبنی بر اینکه چه چیزی واقعی است و چه چیزی غیر واقعی و نظریه کامل چیست، ارائه کردند.
ملاک واقعی بودن یک خاصیت: فرض کنید که می خواهیم خصلی مثل رنگ سیب را تعیین کنیم. اگر کسی بتواند اینکه مطلقا روی اندازه گیری ما تاثیر بگذارد، پیش گویی کند که ما حتما رنگ سیب را سرخ بدست خواهیم آورد و پیش بینی اش درست از آب در آید، حتما رنگ سرخ سیب یک واقعیت خارجی و مستقل از اندازه گیری ماست. به عبارت دیگر اندازه گیری ها سرخی سیب را خلق نکرده است بلکه فقط آن را که یک واقعیت خارجی بوده است ، آشکار کرده است.
ملاک کامل بودن یک نظریه: اگر نظریه ای فراهم کنیم که تنها به بخشی از مشاهدات ما نظم و ترتیب دهد و به وضوح درباره جنبه ها یا عناصری از جهان واقعی که می دانیم وجود دارند ساکت باشد، آنگاه می توانیم بگوییم که نظریه مایک یک نظریه کامل نیست. به عبارت دیگر نظریه ای کامل است که هر عنصری از واقعیت در آن قابل توصیف باشد. به کمک این دو تعریف و آرایه ای آزمایش فکری EPR ، این سه شخص سعی کردند نشان دهند که مکانیک کوانتومی نظریه کامل نیست.
1-7 آزمایش EPR
رابطه (1-10) یک حالت با اسپین صفر است به این معنا که اسپین کل دو ذره در آن صفر است. چنین حالتی را اگر در هر پایه ای بسط دهیم شکلی همانند رابطه (1-10) خواهد گرفت، یعنی در هر پایه ای به شکل زیر است
|ψ> =1/√2(|n_+,n_->-|n_-,n_+>) (1-16)
کافی است که دقت کنید
|z_+> =a| n_+>+b|n_->
|z_-> =-b| n_+>+a|n_-> (1-17)
که در آن 〖|a|〗^2+〖|b|〗^2=1. حال فرض کنید که آلیس ذره خود را در راستای Z اندازه گیری کند. در این صورت با احتمال 1/2 مقدار آن برابر ℏ/2 بدست خواهد آمد و حالت |ψ> تبدیل می شود به |z_+, z> که در نتیجه ی آن وی می تواند بگوید که باب در صورت اندازه گیری اسپین ذره خود در راستای Z حتما مقدار -ℏ/2 بدست می آورد. بنابراین با توجه به ملاک اول و با توجه به این که اندازه گیری آلیس و باب در فاصله های فضا گونه انجام می شود، مولفه اسپین در راستای Z یعنی s_z یک واقعیت خارجی مستقل از اندازه گیری ماست. این نتیجه ای است که از ساختمان مکانیک کوانتومی بعلاوه تعریف دقیقی که از ملاک اول برای عنصر واقعی ارائه شده به دست آمد. اما آلیس می توانست اندازه گیری اش را در هر راستای دیگری نیز انجام دهد و با توجه به روابط (1-17) و با همان استدلال بالا مولفه اسپین ذره باب را در آن راستا و قبل از اندازه گیری باب با دقت پیش گویی کند. بنابراین مولفه اسپین این ذره در راستای n یعنی s_n نیز واقعی است. اما این امر بوضوح با اصول مکانیک کوانتومی در تناقض است، زیرا در مکانیک کوانتومی امکان اینکه هر سه اسپین در راستاهای x و y و z قبل از اندازه گیری مقادیر معین داشته باشند، وجود ندارد. به این ترتیب این سه شخص نتیجه گرفتند که مکانیک کوانتومی یک نظریه کامل نیست، زیرا این نظریه نتوانسته است سه مولفه اسپین که کمیت های واقعی و عینی هستند را توصیف کند.

دسته بندی : پایان نامه ارشد

دیدگاهتان را بنویسید