اندازهگیری آن)…………………………………………………………………………….. 19
3-1 ناهمدوسی کوانتومی……………………………………………………………………………………………………… 19
3-2درهمتنیدگی سامانههای کوانتومی……………………………………………………………………………………… 19
3-3معیارهای اندازهگیری درهمتنیدگی……………………………………………………………………………………. 21
3-3-1تلاقی……………………………………………………………………………………………………………………. 21
3-3-2 درهمتنیدگی برای سه کیوبیتیها……………………………………………………………………………….. 22
3-3-3 کران پایین تلاقی برای سامانههای کوانتومی چند قسمتی………………………………………………… 23
فصل چهارم (بررسی دینامیک ناهمدوسی کوانتومی تک کیوبیتی در محیطهای مارکوفی وغیرمارکوفی)……………………………………………… 27
4-1معرفی مدل……………………………………………………………………………………………………………….. 27
4-2بررسی تحولات برای حالات اولیه و بدست آوردن رابطهای برای محیط غیرمارکوفی……………… 30
4-3بررسی حالت مخلوط و بدست آوردن رابطهای برای محیط غیرمارکوفی……………………………….. 33
4-4 عامل خلوص و ناهمدوسی…………………………………………………………………………………………… 35
4-5 نتایج عددی………………………………………………………………………………………………………………. 36
4-5-1 تأثیر ثابت جفتشدگی ضعیف…………………………………………………………………………….. 36
4-5-2 تأثیر ثابت جفتشدگی قوی………………………………………………………………………………… 38
4-5-3 تأثیر بسامد قطع………………………………………………………………………………………………….. 39
فصل پنجم (بررسی دینامیک درهمتنیدگی دو کیوبیتی در محیط مارکوفی و غیرمارکوفی)……………………………………………………………… 41
5-1مقدمه………………………………………………………………………………………………………………………….. 41
5-2معرفی مدل…………………………………………………………………………………………………………………… 42
5-3سازوکار حفظ درهمتنیدگی…………………………………………………………………………………………….. 45
5-4نتایج عددی…………………………………………………………………………………………………………………… 48
5-4-1حالت ابراهمیک……………………………………………………………………………………………………… 48
5-4-2حالت لورنتز…………………………………………………………………………………………………………… 50
فصل ششم (بررسی دینامیک درهمتنیدگی سه کیوبیتی در محیط مارکوفی و غیرمارکوفی)……………………………………………………………… 52
6-1معرفی مدل…………………………………………………………………………………………………………………… 52
6-2سازوکار حفظ درهمتنیدگی……………………………………………………………………………………………. 60
6-3نتایج عددی………………………………………………………………………………………………………………….. 61
فصل هفتم (نتیجهگیری)……………………………………………………….. 64
پیوست 1 ………………………………………………………………………… 66
منابع …………………………………………………………………………………68
لیست شکلها
شکل 2.1نمایش یک کیوبیت به وسیلهی الکترون دو ترازه در اتم………………………………………….18
شکل1.4نمایش تقریب مارکوفی برای ثابت جفتشدگی ضعیف در تک کیوبیت…………………37
شکل 2.4نمایش تقریب غیرمارکوفی برای ثابت جفتشدگی ضعیف در تک کیوبیت…………..37
شکل 4.3نمایش تقریب مارکوفی و غیرمارکوفی برای ثابت جفتشدگی قوی در
تک کیوبیت…………………………………………………………………………………………………………………………….38
شکل 4.4نمایش تقریب مارکوفی و غیرمارکوفی برای تأثیر بسامد قطع در
تک کیوبیت…………………………………………………………………………………………………………………………….39
شکل 1.5نمایش زیر سامانههای A و B برای دو اتم دو ترازه جفتشده به همراه یک
منبع خلاء…………………………………………………………………………………………………………………………………42
شکل 2.5نمایش حالت کراندار برای سامانهی دو کیوبیتی در حالت ابر اهمیک……………………..48
شکل 3.5 نمایش تقریب مارکوفی و غیرمارکوفی برای سامانهی دو کیوبیتی در حالت
ابر اهمیک……………………………………………………………………………………………………………………………….48
شکل 4.5نمایش واپاشی برای سامانهی دو کیوبیتی در ثابت جفتشدگی قوی در حالت
ابر اهمیک……………………………………………………………………………………………………………………………….49
شکل5.5نمایش تلاقی برای حالتهای مختلف درهمتنیدگی سامانهی دو کیوبیتی در حالت
ابر اهمیک……………………………………………………………………………………………………………………………….49
شکل 5.6نمایش حالت کراندار وتلاقی برای سامانهی دو کیوبیتی در حالت لورنتز با شاخص پهنای طیف………………………………………………………………………………………………………………………………50
شکل 5.7نمایش حالت کراندار و تلاقی برای سامانهی دو کیوبیتی در حالت لورنتز با شاخص
ثابت اتصال………………………………………………………………………………………………………………………………51
شکل 1.6نمایش حالت کراندار برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت ابر اهمیک……………………..61
شکل2.6نمایش تقریب مارکوفی برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت ابر اهمیک…………………..61
شکل3.6نمایش تقریب غیرمارکوفی برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت ابر اهمیک……………..62
شکل4.6نمایش حالت کراندار برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت لورنتز……………………………..62
شکل 6.5نمایش تلاقی برای سامانهی سه کیوبیتی در حالت لورنتز با شاخص پهنای طیف………63
چکیده
در این پایاننامه، ابتدا هامیلتونی را برای سامانهی کوانتومی_محیط و برهمکنش بین آنها مشخص کرده و سپس تحول سامانهی کوانتومی و اثر حافظه بر این تحول را مورد بررسی قرار میدهیم. در این راستا ناهمدوسی ایجاد شده در اثر برهمکنش سامانهی تک کیوبیتی با محیط را مطالعه میکنیم. سپس با بدست آوردن معادلهی مادر، ناهمدوسی ایجاد شده را محاسبه کرده و آن را تحت تقریبهای مارکوفی و غیرمارکوفی بررسی میکنیم. همچنین روشی برای حفظ همدوسی و جلوگیری از ناهمدوسی ایجاد شده در سامانهی تک کیوبیتی ارائه میدهیم.
در ادامه تحول سامانهی دو کیوبیتی و درهمتنیدگی ایجاد شده را بررسی میکنیم و حضور اختلالات ناشی از محیط در سامانهی دو کیوبیتی را مورد مطالعه قرار میدهیم. در صورت وجود درهمتنیدگی، تلاش برای حفظدرهمتنیدگی ایجاد شده و جلوگیری از مرگ ناگهانی آن را بررسی میکنیم. در صورت مرگ ناگهانیدرهمتنیدگی، امکان احیایدوبارهی آن و همچنین امکان حفظ درهمتنیدگی را تحت تقریب غیرمارکوفی مورد سنجش قرار میدهیم.
در قسمت آخر نیز تحول سامانهی سه کیوبیتی را با اختلالات ناشی از محیط اطراف بررسی کرده و کران پایین درهمتنیدگی بینکیوبیتها را بدست میآوریم. سپس با محاسبهی کران پایین درهمتنیدگی، برای حفظ درهمتنیدگی و جلوگیری از مرگ ناگهانی آن، راه حلی ارائه میدهیم. در پایان نتایج بدست آمده از هر سه حالت کیوبیت را با شاخصهای مختلف مقایسه میکنیم.
واژههایکلیدی: ناهمدوسی، درهمتنیدگی، مرگ ناگهانی درهمتنیدگی، تلاقی، تقریب مارکوفی و تقریب غیرمارکوفی

فصل اول
مقدمه
1-1 پیشینهی تحقیق
یکی از موضوعات مهم در مکانیک کوانتومی، درهمتنیدگی1 یا همان آمیختگی حالتهای کوانتومی میباشد که یکی از مباحث مهم نظریهی اطلاعات کوانتومی2 به شمار میرود. از کاربردهای پدیدهی درهمتنیدگی میتوان به محاسبه کوانتومی3 ]3-1[، رمزنگاری کوانتومی4 ]5,4[ و انتقال کوانتومی5 ]7,6[ اشاره کرد.
امروزه شناخت ساختار و خواص سامانههای درهمتنیدهی کوانتومی توجه بسیاری از محققان را به خود جلب کرده است. به دلیل نوظهور بودن پدیدهی درهمتنیدگی کوانتومی، موضوعات فراوانی پیرامون این پدیده وجود دارند که از مهمترین آنها میتوان به دو موضوع زیر اشاره کرد،
1- تشخیص اینکه سامانههای مورد مطالعه، درهمتنیده میباشند یا خیر،
2- پیدا کردن بهترین معیار برای یافتن مقدار دقیق درهمتنیدگی سامانههای کوانتومی.
برای تعیین مقدار درهمتنیدگی سامانههای کوانتومی، معیارهای مختلفی ارائه شدهاند که از مهمترین این معیارها میتوان به تلاقی6] 11-8[، نیمهتلاقی7 ]12[، منفیگرایی8 ]15-13[، آنتروپی وان نیومن9 ]8[، آنتروپی نسبی10 و … اشاره کرد. ما در این پایاننامه فقط از معیار تلاقی برای تعیین مقدار درهمتنیدگی استفاده خواهیم کرد.
در مجموع، بررسی دو موضوع فوق فقط در مورد حالتهای محدود صورت گرفته است و تاکنون روش فراگیر و در عین حال ساده برای تعیین درهمتنیده بودن هر سامانهی کوانتومی و همچنین معیاری که مقدار دقیق درهمتنیدگی کوانتومی را نشان دهد یافت نشده است. به عنوان مثال، برای یک سامانهی دو قسمتی که شامل حالتهای خالص11 میباشد، اکثر معیارهای درهمتنیدگی نتیجه قابل قبولی را از خود نشان میدهند، در صورتیکه برای حالتهای مخلوط12، تشخیص درهمتنیدگی و همچنین تعیین مقدار درهمتنیدگی کار بسیار پیچیده و مشکلی است. درهمتنیدگی حالتهای مخلوط از طریق درهمتنیدگی حالتهای خالص مشخص میشود]15[. مشکل اصلی محاسبه درهمتنیدگی حالتهای مخلوط یافتن کمترین مقدار درهمتنیدگی حالتهای خالص میباشد و تعیین مقدار درهمتنیدگی تاکنون فقط روی سامانههای محدودی مطالعه شده است.
رابطهای که توسط ویلیام ووترز13 و اسکات هیل14 برای تعیین مقدار درهمتنیدگی سامانههای دو کیوبیتی ارائه شده است، از روابط بسیار مهم در زمینهی درهمتنیدگی سامانههای کوانتومی به شمار میآید]16[.
مسئله مهم دیگر، حفظ درهمتنیدگی ایجاد شده در زیر سامانههای کوانتومی یک سامانه است. هنگامیکه سامانههای کوانتومی با محیط اطراف خود برهمکنش میکنند، محیط اختلالاتی روی سامانهی کوانتومی ایجاد کرده و موجب از بین رفتن درهمتنیدگی بوجود آمده میشود که به آن مرگ ناگهانی درهمتنیدگی15میگویند. همچنین باید روشی برای حفظ درهمتنیدگی ایجاد شده مطرح کرد و تلاش برای جلوگیری از مرگ ناگهانی درهمتنیدگی و امکان احیای دوبارهی آن نیز مورد بررسی قرار گیرد. این مطلب را تحت عنوان تقریب غیرمارکوفی، برای حفظ درهمتنیدگی مطالعه خواهیم کرد.

1-2 دورنمای پایاننامه
در فصل دوم این پایاننامه به مفاهیم اساسی مکانیک کوانتومی اشاره خواهیم کرد و در فصل سوم، به بررسی ناهمدوسی16 کوانتومی، درهمتنیدگی کوانتومی و معیار اندازهگیری آنها خواهیم پرداخت. ابتدا خواص حالتهای دو کیوبیتی و سه کیوبیتی را مطالعه خواهیم کرد و سپس درهمتنیدگی سامانههای خالص و مخلوط را توضیح خواهیم داد و معیار اندازهگیری درهمتنیدگی برای سامانههای دو کیوبیتی و سه کیوبیتی را معرفی خواهیم نمود.
در فصل چهارم برهمکنش سامانهی تک کیوبیتی و محیط را مورد بررسی قرار داده و ناهمدوسی ایجاد شده تحت اختلالات محیط با سامانهی کوانتومی را مطالعه میکنیم. برای جلوگیری از ناهمدوسی و حفظ همدوسی سامانهی کوانتومی، آن را تحت تقریبهای مارکوفی17 و غیرمارکوفی18 بررسی میکنیم.
در فصل پنجم برهمکنش سامانهی دو کیوبیتی را با محیط در نظر گرفته و این بار نیز، درهمتنیدگی ایجاد شده بین آنها را مورد بررسی قرار خواهیم داد. این برهمکنش موجب از بین رفتن درهمتنیدگی و مرگ ناگهانی آن میشود. همچنین روشی برای جلوگیری از مرگ ناگهانی و احیای دوبارهی درهمتنیدگی معرفی خواهیم کرد.
در فصل ششم نیز سامانهی سه کیوبیتی را تحت اثرات محیط در نظر میگیریم و درهمتنیدگی ایجاد شده بین این سامانهها را محاسبه میکنیم. در معرض محیط قرار گرفتن سامانهی کوانتومی موجب از بین رفتن درهمتنیدگی میشود و مشابه آنچه در فصل پنجم آمده است این بار نیز راه حلی برای جلوگیری مرگ ناگهانی درهمتنیدگی در نظر میگیریم.
در مقولهی حفظ همدوسی یا درهمتنیدگی باید از تقریبهایی استفاده کنیم. تقریبهایی که در این پایاننامه مورد استفاده قرار میگیرند، تقریبهای مارکوفی و غیرمارکوفی هستند. این تقریبها را برای جلوگیری از ناهمدوسی و مرگ ناگهانی درهمتنیدگی بکار میبریم و نتایج بدست آمده از این تقریبها را با توجه به شرایط مختلف مقایسه میکنیم و تقریب مناسب را تحت شرایط و حالتهای مختلف انتخاب مینماییم.

فصل دوم
مقدمهای بر مکانیک کوانتومی و مفاهیم اساسی آن

این فصل مروری مختصر بر تاریخچهی مکانیک کوانتومی است که زمینه را برای معرفی نظریهی اطلاعات کوانتومی و درهمتنیدگی کوانتومی مهیا میکند. در ادامه به بیان فضایبرداری، عملگرها19، پیکرنویسی دیراک20، اصل برهمنهی21، بیت کلاسیکی و کوانتومی22، ماتریس چگالی23 و … میپردازیم.

2-1 مکانیک کوانتومی
هدف اصلی علم فیزیک توصیف تمام پدیدههای طبیعی قابل مشاهده (پدیدههای بزرگ مقیاس24) برای بشر است. تا قبل از قرن بیستم، با دستهبندی پدیدههای قابل مشاهده تا آن روز، فرض بر این بود که طبیعت فقط از ذرات مادی تشکیل شده است. بنابراین، فیزیک کلاسیک دو نوع فرمولبندی برای توصیف این پدیدههای طبیعی در اختیار داشت. اولی مکانیک بود که دربارهی پیشبینی دینامیک اجسام بحث میکند؛ دومی نظریهی الکترومغناطیس25 بود که دربارهی امواج تابشی بکار برده میشود.
این دو رده از پدیدهها هر چند مجزا فرض میشدند اما بوسیلهی معادلهی نیروی لورنتس26،
(2.1) F ⃗=e [ E ⃗+v ⃗ ⨉▒B ⃗ ]،
به یکدیگر مربوط میشوند. در رابطهی (2.1)،F ⃗ نیروی وارد بر ذرهای است که با بار الکتریکی e در میدانهای B ⃗ و E ⃗ با سرعتv ⃗ حرکت میکند]17[.
در اوایل سال1900، علم فیزیک دستخوش دگرگونی عظیمی شد. توصیف کافی و حتی تقریبی تعداد روزافزونی از این پدیدهها و مشاهدات بوسیلهی قوانین فیزیکی که تا آن زمان فرمولبندی شده بودند با شکست مواجه شد. اولین کاستی و ضعف فیزیک کلاسیک، در توصیف پدیدههایی شامل ذرات کوچک نظیر الکترونها، اتمها و برهمکنش27 آنها با میدان الکترومغناطیسی مشاهده شد]17[.
در ابتدا این نقصها در فیزیک بوسیلهی فرضیات و اصول موضوعهی28 ویژهی مربوط به آنها توجیه میشد. اما با افزایش تعداد آنها روشن شد که فیزیک سامانههای کوچک نیازمند فرمولبندی کامل میباشد. به عبارت دیگر باید مدلی کوچک مقیاس29 ارائه میشد که میتوانست تا حد امکان اثرهای بزرگ مقیاس که فیزیک کلاسیک را با چالش مواجه کرده بودند، برطرف کند. نتیجهی تلاشها در این راستا منجر به ارائهی نظریهای به نام مکانیک کوانتومی گردید. برخی از این پدیدهها که در آن زمان فیزیک کلاسیک از توصیف آنها ناتوان بود و منجر به کشف مکانیک کوانتومی گردید عبارتاند از،

1- تابش جسم سیاه،
2- پراکندگی کامپتون،
3- اثر فوتوالکتریک.

ماکس پلانک30 با عنوان کردن اصل موضوعهی خود در سال 1900 مبنی بر اینکه تبادل انرژی بین اتمها و تابش به صورت مقادیر گسستهای از انرژی است، توانست بسیاری از این پدیدهها را با موفقیت توصیف کند]17[. پلانک نشان داد که به ازای یک بسامد معین ν، کوچکترین مقدار انرژی که میتواند مبادله شود برابر است با،
،E=h ν

که در آن h ثابت پلانک با مقداری معادل با،
(ژول – ثانیه) h=6/62377×〖10〗^(-34) joule-sec
میباشد. این واقعیت باعث گردید که بسیاری از پدیدههای موجود در طبیعت که از دیدگاه فیزیک کلاسیک قابل توصیف نبودند، به وسیلهی نظریهی کوانتومی توجیه شوند]17[.

2-2 مفاهیم اساسی در مکانیک کوانتومی

در این بخش به معرفی برخی از مهمترین مفاهیم موجود در مکانیک کوانتومی میپردازیم که در فصلهای بعدی با آنها سروکار خواهیم داشت.

2-2-1 فضای برداری
مجموعهی V را یک فضای برداری روی میدان F میگویند هرگاه دو عمل جمع و ضرب با خاصیتهای زیر در آن قابل تعریف باشند،
+ : ∀ x , y , z ∈ V;
x+y ∈V
x+y=y+x
(x+y)+z=x+(y+z)
∃∘ ∈V : ∘+x=x
.∃-x ∈V : (-x)+x= ∘

× : ∀ a , b ∈ F ;
a(x+y)=ax+ay
(a+b)x=ax+bx
a(bx)=(ab)x=abx
.∃ 1 ∈F : 1x=x

بسته به اینکه F میدان اعداد حقیقی R یا میدان اعداد مختلط C باشد فضای برداری V را فضای برداری حقیقی یا مختلط مینامند. به عنوان مثالR^n یا مجموعهی nتاییهای مرتب حقیقی و همچنینC^n یا مجموعهیn تاییهای مرتب مختلط تشکیل یک فضای برداری میدهند]18[.

2-2-2 ضرب داخلی و اندازه
در فضای برداریV عمل دوتایی V×V→C : 〈 , 〉 را یک ضرب داخلی مینامیم هرگاه در شرایط زیر صدق کند،
〈x,y+az 〉= 〈x,y〉+a〈x, z〉
〈x,y〉= 〈y,x〉^*
〈x,x〉 ≥ ∘
.〈x,x〉= ∘ □(⇒) x=∘

فضای برداری که به یک ضرب داخلی مجهز شده باشد فضای برداری ضرب داخلی31 نامیده میشود. در هر فضای برداری ضرب داخلی، اندازهی یک بردار را به صورت،
، |x|=√(〈x,x〉 )
تعریف میکنند]18[.

2-2-3 پایه
کمترین تعداد بردارهای راست هنجار مستقل خطی که میتوانند فضای برداریV را پوشش دهند، بردارهای پایهی فضا نامیده میشوند V≔{e_(i ), i=1,…,N}. شرط راست هنجاری به معنی آن است که 〈e_(i ),e_(j ) 〉=δ_(i,j)، که δ_(i,j) دلتای کرونیکر است. هر بردار x متعلق به فضایV را میتوان بر حسب بردارهای پایه فضا به صورت زیر بسط داد،
.x= ∑_(i=1)^N▒〖x_i e_i 〗

که در آن e_iها به عنوان مثال بردارهای پایه راست هنجار در فضاهای برداریR^n و C^n به شکل زیر هستند،
〖.e〗_1=(■(1@■(∘@⋮@∘))) e_2=(■(∘@■(1@⋮@∘))) … e_n=(■(∘@■(∘@⋮@1)))
2-2-4 عملگر خطی
یک فضای برداری که دارای خاصیت کاملبودن، خطی و تجزیهپذیر است و ضرب داخلی در آن نسبت به عملهای جمع و ضرب بسته میباشد را فضای هیلبرت32 مینامند. برای توصیف سامانههای کوانتومی از فضای برداری هیلبرت استفاده میشود. حالت هر سامانهی کوانتومی را با یک بردار در فضای مذکور مشخص میکنند.
در فضای برداری V نگاشت T ̂ :V →V را یک عملگر خطی33 میگویند هرگاه دارای خاصیت زیر باشد،
. T ̂(x+ay)= T ̂(x)+aT ̂(y) ∀ a∈F , x,y ∈V

یک عملگر خطی تنها با اثرش روی بردارهای پایه مشخص میشود،

.T ̂e_i= ∑_(j=1)^N▒〖T ̂_ji e_j 〗

ماتریسT با درایههای T_ji را ماتریس مربوط به تبدیل خطیT ̂ در پایهی {e_(i ) } مینامند و هرگاه پایه بهنجار باشد، میتوان نوشت]18[،
.〈e_(j ),T ̂e_(i ) 〉= T ̂_ji

2-2-5 ویژه بردار و ویژه مقدار عملگر

برای هر عملگری مانند T ̂ :V →V ویژه بردار عبارت است از یافتن بردارهای غیر صفری که تحت اثر این عملگر به مضربی از خود تبدیل شوند،
، T ̂x= λx
بردار x غیر صفر خواهد بود هرگاه ماتریس T ̂-λI ̂ وارونپذیر نباشد، برای این منظور لازم است که،

〖.det〗⁡(T ̂-λI ̂ )=∘
این معادله یک معادلهی درجهی N است که در حوزهی اعداد مختلط حتماً N جواب دارد که آنها را با {λ_(i ), i=1,…,N} نشان میدهیم. همهی ویژه مقادیر یک عملگر الزاماً از هم متفاوت نیستند، به این مسئله تبهگنی34 گفته میشود. هرگاه یک ویژه مقدار مانندλ_(i )،g_(i ) بار تکرار شود گوییم درجهی تبهگنی آنg_(i ) است. بردار مربوط بهλ_(i ) را که در معادلهیT ̂x_(i )=λ_(i ) x_(i ) صدق میکند ویژه بردار مربوط به آن ویژه مقدار میگویند]18[.

2-2-6 عملگرهای هرمیتی

در یک فضای برداری، اگر عملگرA^†، الحاقی35 A باشد، آنگاه درصورتی عملگرA هرمیتی نامیده میشود،
که،
〖.A〗^†=A

یک عملگر هرمیتی دارای خواص زیر است،

1) ویژه مقادیر یک عملگر هرمیتی حقیقیاند،

2) ویژه بردارهای یک عملگر هرمیتی متناظر با ویژه مقادیر متفاوت، متعامدند]18[.

2-3 پیکرنویسی دیراک

فضای برداریV را که دارای بعد N است و با پایه بهنجار {e_(1 ), e_(2 ), …,e_N } توصیف میشود در نظر میگیریم. هر بردارv∈V بسطی از بردارهای پایه به شکل زیر است،
.v= ∑_(i=1)^N▒〖v_i e_i 〗
ضرب داخلی این بردار در خودش به صورت زیر نوشته میشود،
.〈v,v〉= ∑_(i=1)^N▒〖v_i^* v_i 〗
طبق پیکرنویسی دیراک میتوان به ازای هر چنین برداری یک بردار ستونی با نماد ├ ├|v┤ ⟩ و یک بردار سطری با نماد 〈├ v┤| ┤ به شکل زیر تعریف کرد،
├ .├|v┤ ⟩=(■(v_1@■(v_2@⋮@v_N ))) ، 〈├ v┤| ┤=(■(v_1^*&■(v_2^*&■(…&v_N^* ))))

در این پیکرنویسی بردار ├ ├|v┤ ⟩ را کت36 و بردار 〈├ v┤| ┤ را برا37 مینامند. ضرب این دو بردار درهم به صورت زیر خواهد بود،
.⟨v│v⟩= ∑_(i=1)^N▒〖v_i^* v_i=〈v,v〉 〗
در رابطهی بالا عبارت سمت راست یک ضرب داخلی است اما عبارت سمت چپ ضرب دو ماتریس است. مزیت پیکرنویسی دیراک این است که با استفاده از این پیکرنویسی انواع عملیاتی که روی بردارها انجام میدهیم به انجام عملیات روی ماتریسها تقلیل مییابند. بردارهای پایه {e_(1 ), e_(2 ), …,e_N } نیز در پیکرنویسی دیراک دارای نمایش کت و برا به صورت زیر خواهند بود،
├ ├|e_(1 ) ┤ ⟩=(■(1@■(∘@⋮@∘))) ، ├ ├|e_(2 ) ┤ ⟩=(■(∘@■(1@⋮@∘))) ، ├ ├|e_(N ) ┤ ⟩=(■(∘@■(∘@⋮@1)))

.〈├ e_(1 ) ┤| ┤=(■(1&■(∘&■(…&∘)))) ، 〈├ e_(2 ) ┤| ┤=(■(∘&■(1&■(…&∘)))) ، 〈├ e_(N ) ┤| ┤=(■(∘&■(∘&■(…&1))))

بنابراین از این پس با استفاده از این پیکرنویسی هر بردار را به شکل زیر خواهیم نوشت،
├ .├|v┤ 〉≔ ∑_(i=1)^N▒v_i ├ ├|i┤ 〉 ، 〈├ v┤| ┤≔ ∑_(i=1)^N▒〖v_i^* 〈├ i┤| ┤ 〗

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

در این پیکرنویسی ضرب داخلی یک بردار کت مانند ├ ├|v┤ 〉 در یک بردار برا مانند 〈├ w┤| ┤ به صورت زیر خواهد بود،
،⟨w│v⟩= ∑_(i=1)^N▒〖w_i^* v_i 〗

که در واقع همان ضرب داخلی دو بردار w و v است. میتوان یک بردار کت مانند ├ ├|v┤ 〉 را در یک بردار برا مانند 〈├ w┤| ┤ به صورت زیر در هم ضرب کرد و یک ماتریس بدست آورد،
.|├ v〉〈├ w┤|= ┤ ┤ (■(■(〖v_1 w〗_1^*&〖v_1 w〗_2^*@〖v_2 w〗_1^*&〖v_2 w〗_2^* )&■(…&〖v_1 w〗_N^*@…&〖v_2 w〗_N^* )@■(⋮&⋮@〖v_N w〗_1^*&〖v_N w〗_2^* )&■(⋮&⋮@…&〖v_N w〗_N^* )))

دو خاصیت مهم در رابطه با کتها و براها که به ترتیب خاصیتهای راست هنجاری38 و کامل بودن39 نامیده میشوند، عبارتند از،
،⟨i│j⟩= δ_ij
.∑_i▒〖├ ├|i┤ ⟩ ⟨├ i┤| ┤=I ̂ 〗
نمایش یک عملگر مانند T ̂ در این پیکرنویسی به صورت زیر است،
،T ̂=(∑_j▒〖├ ├|j┤ ⟩ ⟨├ j┤|)T ̂∑_i▒〖├ ├|i┤ ⟩ ⟨├ i┤|)=∑_(i,j)▒〖├ T ̂_ji ├|j┤ ⟩ ⟨├ i┤| ┤ 〗┤ 〗┤ 〗
که بسط عملگرT ̂ بر حسب عملگرهای پایه ├ ├|j┤ ⟩ ⟨├ i┤| ┤ است.

2-4 اصول موضوعه مکانیک کوانتومی و اصل برهم نهش

فرمولبندی مکانیک کوانتومی مبتنی بر تعدادی اصول موضوعه است که بخش اعظمی از مفاهیم پایهای کوانتومی را شامل میشود. در این بخش به صورت اجمالی به این اصول اشاره میکنیم،

اصل موضوعه اول (توصیف حالت یک دستگاه): در یک زمان مشخص t_∘، حالت یک دستگاه فیزیکی با مشخص کردن یک کت ├ ├|ψ(t_∘)┤ ⟩ متعلق به فضای حالت H تعیین میشود.

اصل موضوعه دوم (توصیف کمیتهای فیزیکی): هرکمیت فیزیکی قابل اندازهگیری A توسط یک عملگر هرمیتی که درH عمل میکند، توصیف میشود.

اصل موضوعه سوم (اندازهگیری کمیتهای فیزیکی): تنها نتیجهی ممکن اندازهگیری یک کمیت فیزیکی A یکی از ویژه مقادیر عملگر متناظر با آن، A است.

اصل موضوعه چهارم (یک طیف گسسته ناتبهگن): وقتی کمیت فیزیکی Aی دستگاهی که در حالت بهنجار شده ├ ├|ψ┤ ⟩ قرار دارد اندازهگیری میشود، احتمال p_((a_n)) برای بدست آوردن ویژه مقدار ناتبهگن a_n مشاهدهپذیر Aی متناظر برابر است با،
، p_((a_n))=|⟨├ u_n ┤|├ ψ⟩ ┤ |^2
که در آن ├ ├|u_n ┤ ⟩ عبارت است از ویژه بردار بهنجار شده A متناظر با ویژه مقدار a_n.

اصل موضوعه چهارم (یک طیف گسسته تبهگن): وقتی کمیت فیزیکی Aی دستگاهی که در حالت بهنجار شده ├ ├|ψ┤ ⟩ قرار دارد اندازهگیری میشود، احتمال p_((a_n)) برای بدست آوردن ویژه مقدار a_n مشاهدهپذیر Aی متناظر برابر است با،
، p_((a_n )= 〖∑_(i=1)^(g_n)▒〖|<u_n^i 〗 ├ ├|ψ┤ ⟩|〗^2 )
که در آن g_n درجهی تبهگنی a_n و {├ ├|u_n^i ┤ ⟩} (i=1,2,…,g_n) مجموعه بردارهای راست هنجاری هستند که در ویژه فضای H_n متناظر با ویژه مقدار a_n عملگر A، تشکیل یک پایه میدهند.

اصل موضوعه چهارم (یک طیف پیوسته ناتبهگن): وقتی کمیت فیزیکی Aی دستگاهی که در حالت بهنجار شده ├ ├|ψ┤ ⟩ قرار دارد اندازهگیری میشود، احتمال dp(α) برای یافتن نتیجهای بین α+dα و α برابر است با،
، dp(α)=|⟨├ ν_α ┤|├ ψ⟩ ┤ |^2 dα
که در آن ├ ├|ν_α ┤ ⟩ عبارت است از ویژه بردار متناظر با ویژه مقدار αی متعلق به مشاهده پذیر Aی وابسته به A.

اصل موضوعه پنجم: اگر اندازهگیری کمیت فیزیکی A روی دستگاهی که در حالت ├ ├|ψ┤ ⟩ است نتیجه a_n را بدهد، حالت دستگاه بلافاصله بعد از اندازهگیری عبارت است از،
، (P_n ├ ├|ψ┤ ⟩)/√(⟨├ ψ┤| ┤ P_n ├ ├|ψ┤ ⟩ )
یعنی تصویر بهنجار شده ├ ├|ψ┤ ⟩ روی ویژه فضای متناظر با a_n. تصویرگر P_n به صورت زیر تعریف میشود،
〖.P〗_n=∑_(i=1)^(g_n)▒〖├ ├|u_n^i ┤ ⟩ ⟨├ u_n^i ┤| ┤ 〗

اصل موضوعه ششم (تحول زمانی دستگاهها): تحول زمانی بردار حالت ├ ├|ψ(t)┤ ⟩ از معادله شرودینگر،
(2.2) iħ d/dt ├ ├|ψ(t)┤ ⟩ =H(t)├ ├|ψ(t)┤ ⟩،
بدست میآید، که خطی و همگن است و H(t) مشاهدهپذیر وابسته به انرژی کل دستگاه است. از خواص عمومی معادله شرودینگر اصل برهم نهش است.
معنای فیزیکی اصل موضوعه اول باید مورد رسیدگی قرار گیرد. برطبق این اصل موضوعه، حالتهای یک دستگاه فیزیکی به یک فضای برداری تعلق دارند که بطور خطی قابل برهم نهش هستند. فرض کنید ├ ├|ψ_1 ┤ ⟩ و ├ ├|ψ_2 ┤ ⟩ دو حالت بهنجار شده متعامد باشند، داریم،
، ⟨├ ψ_1 ┤|├ ψ_1 ⟩ ┤=⟨├ ψ_2 ┤|├ ψ_2 ⟩ ┤=1
.⟨├ ψ_1 ┤|├ ψ_2 ⟩ ┤ =∘
├ ├|ψ_1 ┤ ⟩ و ├ ├|ψ_2 ┤ ⟩ میتوانند به عنوان مثال دو ویژه حالت یک مشاهدهپذیر B، متناظر با دو ویژه مقدار متفاوت b_(2 ) و b_1 باشند.
اگر دستگاه در حالت ├ ├|ψ_1 ┤ ⟩ باشد، میتوانیم تمام احتمالهای مربوط به نتایج اندازهگیری یک مشاهدهپذیر معین A را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، اگر ├ ├|u_n ┤ ⟩ یک ویژه بردار (بهنجار شده) A متناظر با ویژه مقدار گسسته a_n (که فرض میشود ناتبهگن است) باشد، احتمال p_1 (a_n) برای یافتن a_n، در اندازهگیری A، وقتیکه دستگاه در حالت ├ ├|ψ_1 ┤ ⟩ است عبارت است از،

دسته بندی : پایان نامه ارشد

دیدگاهتان را بنویسید